حل تمرین صفحه 139 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۳۹ - تمرین ۱ برای حل این مسئله، ابتدا باید تعداد کل اقلام موجود را بشماریم. تنقلات عبارت‌اند از: پسته، بادام، گردو، تخمه کدو، تخمه ژاپنی، نخودچی و کشمش که در مجموع **۷ نوع** ماده اولیه هستند. از آنجایی که در تهیه آجیل، ترتیب ریختن مواد اهمیت ندارد، از مفهوم **ترکیب** استفاده می‌کنیم. عبارت «حداقل ۵ نوع» به این معناست که آجیل می‌تواند شامل ۵ نوع، ۶ نوع یا هر ۷ نوع ماده باشد. گام‌های محاسبه: ۱. انتخاب ۵ نوع از ۷ نوع: $$ \binom{7}{5} = \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 $$ ۲. انتخاب ۶ نوع از ۷ نوع: $$ \binom{7}{6} = \binom{7}{1} = 7 $$ ۳. انتخاب هر ۷ نوع: $$ \binom{7}{7} = 1 $$ در نهایت، طبق **اصل جمع**، این حالات را با هم جمع می‌کنیم: $$ 21 + 7 + 1 = 29 $$ بنابراین فروشنده می‌تواند **۲۹ نوع** آجیل مختلف درست کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۳۹ - تمرین ۲ در این مسئله، گروه‌های ۵ نفره انتخاب می‌شوند، پس با **ترکیب** سر و کار داریم. ابتدا تعداد اعضا را مرور می‌کنیم: ۱ رئیس، ۳ معاون، ۲ حسابدار، ۶ کارشناس اداری، ۳ کارگزینی و ۳ حقوقی (جمعاً ۱۸ نفر). **الف) رئیس و دقیقاً یک کارشناس حقوقی:** * ۱ رئیس ثابت است: $$ \binom{1}{1} = 1 $$ * ۱ کارشناس حقوقی از ۳ نفر: $$ \binom{3}{1} = 3 $$ * ۳ نفر باقی‌مانده باید از بین بقیه اعضا (۱۸ نفر منهای رئیس و منهای ۳ حقوقی = ۱۴ نفر) انتخاب شوند: $$ \binom{14}{3} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364 $$ حاصل کل: $$ 1 \times 3 \times 364 = 1092 $$ طریق. **ب) رئیس، دقیقاً یک معاون و یک کارشناس حقوقی:** * رئیس: $$ \binom{1}{1} = 1 $$ * ۱ معاون از ۳ نفر: $$ \binom{3}{1} = 3 $$ * ۱ حقوقی از ۳ نفر: $$ \binom{3}{1} = 3 $$ * ۲ نفر باقی‌مانده از بقیه اعضا (۱۸ منهای ۱ رئیس، ۳ معاون و ۳ حقوقی = ۱۱ نفر): $$ \binom{11}{2} = 55 $$ حاصل کل: $$ 1 \times 3 \times 3 \times 55 = 495 $$ طریق. **پ) رئیس، دقیقاً یک معاون، یک حسابدار و یک کارشناس حقوقی:** * رئیس: ۱ حالت * ۱ معاون: $$ \binom{3}{1} = 3 $$ * ۱ حسابدار: $$ \binom{2}{1} = 2 $$ * ۱ حقوقی: $$ \binom{3}{1} = 3 $$ * ۱ نفر باقی‌مانده از بقیه (۱۸ منهای ۱ر، ۳م، ۲ح، ۳ح.ق = ۹ نفر): $$ \binom{9}{1} = 9 $$ حاصل کل: $$ 1 \times 3 \times 2 \times 3 \times 9 = 162 $$ طریق.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۳۹ - تمرین ۳ در این مسئله، تعداد کل داوطلبان مجهول است (آن را $n$ می‌نامیم). می‌دانیم که انتخاب ۲ نفر از $n$ نفر به صورت ترکیب است و حاصل آن برابر ۲۸ شده است. فرمول را می‌نویسیم: $$ \binom{n}{2} = 28 $$ $$ \frac{n(n-1)}{2} = 28 $$ حالا طرفین را در ۲ ضرب می‌کنیم: $$ n(n-1) = 56 $$ باید دو عدد **متوالی** پیدا کنیم که حاصل‌ضرب آن‌ها ۵۶ شود. با کمی فکر متوجه می‌شویم که $$ 8 \times 7 = 56 $$ است. بنابراین $$ n = 8 $$ است. پس تعداد داوطلبان **۸ نفر** بوده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۳۹ - تمرین ۴ تعداد کل انواع گل‌ها ۱۰ مورد است. طبق صورت سوال، هر دسته گل می‌تواند شامل ۳، ۴ یا ۵ شاخه گل متفاوت باشد. چون ترتیب قرارگیری گل‌ها در دسته مهم نیست، از ترکیب استفاده می‌کنیم: ۱. دسته گل ۳ شاخه‌ای: $$ \binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 $$ ۲. دسته گل ۴ شاخه‌ای: $$ \binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 $$ ۳. دسته گل ۵ شاخه‌ای: $$ \binom{10}{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 $$ طبق اصل جمع، تعداد کل دسته‌ها برابر است با: $$ 120 + 210 + 252 = 582 $$ بنابراین او می‌تواند **۵۸۲ دسته گل** مختلف درست کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۳۹ - تمرین ۵ بخش اول: برای ساخت رنگ جدید، باید «دو یا چند» رنگ را با هم ترکیب کنیم. یعنی ترکیب‌های ۲ تایی، ۳ تایی و ۴ تایی از ۴ رنگ موجود را حساب می‌کنیم. ۱. ترکیب ۲ رنگ: $$ \binom{4}{2} = 6 $$ ۲. ترکیب ۳ رنگ: $$ \binom{4}{3} = 4 $$ ۳. ترکیب ۴ رنگ: $$ \binom{4}{4} = 1 $$ تعداد رنگ‌های **جدید**: $$ 6 + 4 + 1 = 11 $$ رنگ جدید. اگر رنگ‌های **اصلی** خود را هم بشماریم، در مجموع $$ 11 + 4 = 15 $$ رنگ خواهد داشت. بخش دوم (توجیه هنری): دلیل اینکه در دنیای واقعی رنگ‌های بیشتری تولید می‌شود این است که در هنر، **نسبت ترکیب** رنگ‌ها هم مهم است. مثلاً ترکیب «مقدار زیادی قرمز با کمی آبی» رنگی متفاوت از «مقدار کمی قرمز با زیاد آبی» تولید می‌کند، در حالی که در محاسبات ریاضی بالا ما فقط حضور یا عدم حضور یک رنگ را در نظر گرفتیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۳۹ - تمرین ۶ برای رسم یک مثلث، ما به **۳ نقطه** نیاز داریم که روی یک خط راست نباشند. از آنجایی که این ۷ نقطه روی محیط یک **دایره** هستند، هیچ ۳ نقطه‌ای روی یک خط راست قرار نمی‌گیرند. همچنین در نام‌گذاری مثلث، ترتیب رئوس مهم نیست (مثلث ABC همان مثلث BCA است)، پس از ترکیب استفاده می‌کنیم: $$ \binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 $$ بنابراین می‌توان **۳۵ مثلث** مختلف با این نقاط رسم کرد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۳۹ - تمرین ۷ **الف) بدون محدودیت:** انتخاب ۳ ادویه از ۱۰ نوع. $$ \binom{10}{3} = 120 $$ طعم. **ب) دو ادویه (مثلاً A و B) با هم نسازند:** کافی است از کل حالات، حالتی را که A و B هر دو حضور دارند کم کنیم. اگر A و B باشند، ۱ ادویه دیگر از ۸ ادویه باقی‌مانده نیاز داریم. $$ 120 - \binom{8}{1} = 120 - 8 = 112 $$ طعم. **پ) سه ادویه (A، B و C) هر سه با هم نباشند:** تنها حالتی که ممنوع است، انتخاب هم‌زمان هر سه ادویه A و B و C است که فقط **۱ حالت** است. $$ 120 - 1 = 119 $$ طعم. **ت) دو دسته ۵ تایی ناسازگار:** طعم‌ها باید یا تماماً از دسته اول (۵ تایی) انتخاب شوند یا تماماً از دسته دوم (۵ تایی). $$ \binom{5}{3} + \binom{5}{3} = 10 + 10 = 20 $$ طعم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۳۹ - تمرین ۸ در طرح مسئله برای این عبارات، باید به تفاوت **اصل ضرب** (و) و **اصل جمع** (یا) دقت کنیم. **الف) برای حالت ضرب:** «در یک کیسه ۵ مهره قرمز و ۶ مهره آبی وجود دارد. به چند طریق می‌توان ۳ مهره قرمز **و** ۲ مهره آبی انتخاب کرد؟» در اینجا چون هر دو انتخاب باید با هم انجام شوند، بین ترکیب‌ها علامت ضرب قرار می‌گیرد. **ب) برای حالت جمع:** «یک دانش‌آموز می‌خواهد برای مطالعه، یا ۳ کتاب از ۵ کتاب داستانی را انتخاب کند **یا** ۲ کتاب از ۶ کتاب علمی را. او به چند طریق می‌تواند این کار را انجام دهد؟» در اینجا چون دانش‌آموز باید بین این دو گروه «یکی» را انتخاب کند، از اصل جمع استفاده می‌شود.